Lý thuyết Tích phân

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f(x) kí hiệu là

Ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số F(b) – F(a). Vậy .

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi  . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S =

2. Tính chất của tích phân

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Một số phương pháp tính tích phân

I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức

Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:

Hướng dẫn:

II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

Sử dụng tính chất  để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 2: Tính tích phân .

Hướng dẫn:

Nhận xét: . Do đó

III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số

1) Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u(x) ≤ β. Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u'(x), x ∈ [a; b] với g liên tục trên đoạn [α; β]. Khi đó, ta có

Ví dụ 3: Tính tích phân .

Hướng dẫn:

Đặt u = sinx. Ta có du = cosxdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = π/2 ⇒ u(π/2) = 1

Khi đó

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

    2) Đổi biến số dạng 2

Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α; β]^(*) sao cho φ(α) = a,φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]. Khi đó:

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân  thì nên đổi biến dạng 1.

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:

a) Đặt x = sint ta có dx = costdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2.

Vậy

b) Đặt x = tant, ta có dx = (1 + tan²t)dt. Đổi cận: .

Vậy

IV. Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.

Định lí : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì

hay viết gọn là . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính

Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau :

Hướng dẫn:

a) Đặt

Do đó

b) Đặt