Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Dãy Số – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Định nghĩa dãy số

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N^* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

u: N^* → R

n → u(n).

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển

u₁, u₂, u₃,…, u_n,…,

trong đó u_n = u(n) hoặc viết tắt là (u_n), và gọi u₁ là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

2. Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…,m} với m ∈ N^* được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là u₁, u₂, u₃,…, u_n, trong đó u₁ là số hạng đầu, u_n là số hạng cuối.

II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).

b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

Định nghĩa 1

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_n+1 > u_n với mọi n ∈ N^*.

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u_n+1 < u_n với mọi n ∈ N^*.

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (u_n) với u_n = (–3)ⁿ tức là dãy –3; 9; –27; 81,… không tăng cũng không giảm.

2. Dãy số bị chặn

Định nghĩa 2

Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

u_n ≤ M, ∀ n ∈ N^*

Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

u_n ≥ m, ∀ n ∈ N^*

Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho

m ≤ u_n ≤ M, ∀ n ∈ N^*

II. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 92 SGK Đại số 11):

Viết năm số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức:

Lời giải:

Bài 2 (trang 92 SGK Đại số 11):

Cho dãy số (u_n), biết u₁ = – 1, u_{n+ 1} = u_n + 3 với n ≥ 1.

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u_n = 3n – 4

Lời giải:

a. u₁ = – 1, u_{n + 1} = u_n + 3 với n > 1

u₁ = – 1;

u₂ = u₁ + 3 = -1 + 3 = 2

u₃ = u₂ + 3 = 2 + 3 = 5

u₄ = u₃ + 3 = 5 + 3 = 8

u₅ = u₄ + 3 = 8 + 3 = 11

b. Chứng minh phương pháp quy nạp: u_n = 3n – 4 (1)

+ Khi n = 1 thì u₁ = 3.1 – 4 = -1, vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là u_k = 3k – 4.

+ Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: u_k+1 = 3(k+1) – 4

Thật vậy,ta có : u_{k + 1} = u_k + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.

⇒ (1) đúng với n = k + 1

Vậy (1) đúng với ∀ n ∈ N*.

Bài 3 (trang 92 SGK Đại số 11):

Dãy số (u_n) cho bởi u₁ = 3, u_n+1 = √(1+u_n²) , n > 1

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a. Năm số hạng đầu của dãy số

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số:

u_n =√(n+8) (1)

Rõ ràng (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là u_k = √(k+8)

⇒ (1) đúng với n = k + 1

⇒ (1) đúng với mọi n ∈ N*.

Bài 4 (trang 92 SGK Đại số 11):

Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n), biết:

Lời giải:

a. Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ (u_n) là dãy số giảm.

Với mọi n ∈ N có:

⇒ (u_n) là dãy số tăng.

c. u_n = (-1)ⁿ.(2ⁿ + 1)

Nhận xét: u₁ < 0, u₂ > 0, u₃ < 0, u₄ > 0, …

⇒ u₁ < u₂, u₂ > u₃, u₃ < u₄, …

⇒ dãy số (u_n) không tăng, không giảm.

với n ∈ N*, n ≥ 1

Xét:

⇒ u_{n + 1} – u_n < 0 ⇒ u_{n + 1} < u_n

Vậy (u_n) là dãy số giảm

Bài 5 (trang 92 SGK Đại số 11):

Trong các dãy số (u_n) sau, dãy nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

Lời giải:

a. u_n = 2n² – 1

+ Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 và n² ≥ 1

⇒ u_n = 2n² – 1 ≥ 2.1² – 1 = 1.

⇒ u_n ≥ 1

⇒ dãy (u_n) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.

+ (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u_n = 2n² – 1 ≤ M ∀n ∈N*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

b. Ta có :  ∀ n ≥ 1.

⇒ (u_n) bị chặn dưới

∀ n ≥ 1.

⇒ (u_n) bị chặn trên.

Vậy (u_n) là dãy bị chặn.

+ Ta có : 2n² – 1 > 0 ∀ n ∈ N*

⇒  ∀ n ∈ N*.

⇒ (u_n) bị chặn dưới.

+ 2n² – 1 ≥ 2.1 – 1 = 1

⇒  ∀ n ∈ N*

⇒ (u_n) bị chặn trên.

Vậy (u_n) bị chặn.

d. u_n = sin n + cos n.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Trên đây là nội dung liên quan đến Dãy Số – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!