Để học tốt Hình Học 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Hình Học 12. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Khái Niệm Về Mặt Tròn Xoay – Toán 12 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay

A. Tóm tắt lý thuyết

I. MẶT NÓN

1. Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0^o < β ≤ 90^o . Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1).

– Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.

– Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

2. Hình nón tròn xoay

Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).

– Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.

– Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón.

3. Công thức diện tích hình nón và thể tích khối nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:

4. Tính chất:

– TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp(P) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mp(P) cắt mặt nón theo 2 đường sinh ⇒ Thiết diện là tam giác cân.

+ Nếu mp(P) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

– TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp(Q) không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mp(Q) vuông góc với trục hình nón ⇒ giao tuyến là một đường tròn.

+ Nếu mp(Q) song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

+ Nếu mp(Q) song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là 1 đường parabol.

II. MẶT TRỤ

1. Mặt trụ tròn xoay

Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ và l song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.

– Đường thẳng Δ được gọi là trục.

– Đường thẳng l được gọi là đường sinh.

– Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.

2. Hình trụ tròn xoay

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.

– Đường thẳng AB được gọi là trục.

– Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.

– Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.

– Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ.

– Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.

3. Công thức tính diện tích hình trụ và thể tích khối trụ

Cho hình trụ có chiều cao là và bán kính đáy bằng r, khi đó:

– Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq = 2πrh

– Diện tích toàn phần của hình trụ: S_tp = S_xq + 2.S_Đay = 2πrh + 2πr²

– Thể tích khối trụ: V = B.h = πr²h

4. Tính chất:

– Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên α và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

– Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2r/sinφ, trong đó φ là góc giữa trục Δ và mp(α) với 0⁰ < φ < 90⁰.

– Cho mp(α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng d.

+ Nếu d < r thì mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện là hình chữ nhật.

+ Nếu d = r thì mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

+ Nếu d > r thì mp(α) không cắt mặt trụ.

II. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 39 SGK Hình học 12): Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M nằm trên đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại tâm O của đường tròn (T).

Từ điểm M trên đường tròn (T), vẽ đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P).

Khi đó đường thẳng Δ song song với d và luôn cách d một khoảng bằng r.

Đường thẳng Δ thuộc mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng d và bán kính r.

Bài 2 (trang 39 SGK Hình học 12):

Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:

a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư,

b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó.

c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.

d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.

Lời giải:

a) Khi quay một hình chữ nhật xung quanh đường thẳng chứa một cạnh thì ta được một hình trụ

b) Khi quay một tam giác cân xung quanh trục đối xứng của nó ta được một hình nón tròn xoay

c) Một tam giác vuông kể cả điểm trong của nó khi quay xung quanh một đường thẳng chứa một cạnh góc vuông thì tạo ra một khối nón tròn xuay.

d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của nó khi quay quanh một đường thẳng chứa một cạnh thì tạo ra một khối trụ tròn xoay

Bài 3 (trang 39 SGK Hình học 12):

Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.

a)Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

b)Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.

c)Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó

Lời giải:

a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là:

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là;

b. Ta có:

c. Gọi hình nón đã cho có đỉnh là S và H là tâm đường tròn đáy.

Thiết diện đi qua đỉnh S là tam giác SAC (với A và C thuộc đường tròn đáy)

Gọi M là trung điểm của AC.

Do đó, d( H; (SAC))= HI = 12

Trong tam giác vuông SHM ta có:

Trong tam giác vuông HAM ta có:

AM² = HA² – HM² = 25² – 15² = 400 nên AM = 20 (cm)

Ta có: