Để học tốt Giải tích 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Giải tích 12. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Toán 12 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!
Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Sơ đồ bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;
• Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x) ;
• Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình ;
• Bước 4. Tính giới hạn 
và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có);
• Bước 5. Lập bảng biến thiên;
• Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);
• Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox, Oy, các điểm đối xứng, …);
• Bước 8. Vẽ đồ thị.
2. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3 y= ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
– Lưu ý: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac < 0
3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
4. Các dạng đồ thị của hàm số nhất biến 
5. Biến đổi đồ thị
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) . Khi đó, với số a > 0 ta có:
• Hàm số y = f(x) + a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị.
• Hàm số y = f(x) – a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.
• Hàm số y = f(x + a) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.
• Hàm số y = f(x – a) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
• Hàm số y = -f(x) có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox.
• Hàm số y = f(-x) có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Oy.
• Hàm số 
có đồ thị (C’) bằng cách:
– Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần (C) nằm bên trái Oy.
– Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy.
• Hàm số 
có đồ thị (C’) bằng cách:
– Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox.
– Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới Ox.
B. Kĩ năng giải bài tập
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số (C’): y = |x|3 – 3x2 + 2 từ đồ thị (C): y = x3 – 2x2 + 2 (C):
Giả sử (C) là đường đứt khúc trong hình vẽ.
Hướng dẫn:
• Bước 1: Giữ nguyên đường đứt khúc phía bên phải trục Oy bằng cách tô đậm phần đường đứt khúc bên phải Oy, và bỏ phần đường đứt khúc bên trái Oy.
• Bước 2: lấy đối xứng qua Oy phần đường mới tô đậm, ta được đồ thị (C’).
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số (C’): y = |x3 – 3x2 + 2| từ đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 2.
Giả sử (C) là đường đứt khúc trong hình vẽ.
Hướng dẫn:
• Bước 1: Giữ nguyên đường đứt khúc phía trên trục Ox bằng cách tô đậm phần đường đứt khúc phía trên Ox.
• Bước 2: lấy đối xứng qua Ox phần đường đứt khúc nằm dưới Ox qua Ox rồi xóa phần đường đứt khúc nằm dưới Ox, ta được đồ thị (C’).
II. Giải Bài Tập SGK
Bài 1 (trang 43 SGK Giải tích 12):
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a) y = 2 + 3x – x3 ;
b) y = -x3 + 4x2 – 4x
c) y = x3 + x2 + 9x ;
d) y = -2x3 + 5
Lời giải:
a) Hàm số y = -x3 + 3x + 2.
1) Tập xác định: D = R
2) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y’ = -3x2 + 3.
y’ = 0 ⇔ x = ±1.
Trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.
Trên (-1 ; 1), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
+ Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = 4 ;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 ; yCT = 0.
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
3) Đồ thị:
Ta có : 2 + 3x – x3 = 0 ⇔ 
Vậy giao điểm của đồ thị với trục Ox là (2; 0) và (-1; 0).
y(0) = 2 ⇒ giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2).
Đồ thị hàm số :
b) Hàm số y = -x3 + 4x2 – 4x.
1) Tập xác định: D = R
2) Sự biến thiên:
y’ = -3x2 + 8x – 4;
Trên các khoảng (-∞; 2/3) và (2; +∞) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.
Trên (2/3; 2) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
+ Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, fCD = 0;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2/3; fCT = 
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
3) Đồ thị:
Ta có : -x3 + 4x2 – 4x = 0 ⇔ -x(x – 2)2 = 0 ⇔ 
Vậy giao điểm của đồ thị với Ox là (0;0) và (2;0).
+ y(1) = -1. Vậy (1; -1) thuộc đồ thị hàm số.
+ y(3) = -3. Vậy (3;-3) thuộc đồ thị hàm số
y(-1) = -1 ⇒ (-1; -1) thuộc đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số :
c) Hàm số y = x3 + x2 + 9x.
1) Tập xác định: D = R
2) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y’ = 3x2 + 2x + 9 > 0
⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R.
+ Hàm số không có cực trị.
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
3) Đồ thị hàm số.
+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại (0 ; 0).
+ Đồ thị hàm số đi qua (1; 11) ; (-1; -9)
d) Hàm số y = 2x3 + 5.
1) Tập xác định: D = R
2) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y’ = 6x2 ≥ 0 ∀ x ∈ R
Hàm số đồng biến trên R
Hàm số không có cực trị.
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
3) Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0;5)
Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;7) và (-1;3)
Bài 2 (trang 43 SGK Giải tích 12):
Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
Lời giải:
a) Hàm số y = -x4 + 8x2 – 1.
1) Tập xác định: D = R
2) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y’ = -4x3 + 16x = -4x(x2 – 4)
y’ = 0 ⇔ -4x(x2 – 4) = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±2
Trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.
+ Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và x = -2 ; yCĐ = 15
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = -1.
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
3) Đồ thị:
+ Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:
y(-x) = -(-x)4 + 8(-x)2 – 1 = -x4 + 8x2 – 1 = y(x)
⇒ Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.
+ Giao với Oy tại điểm (0; -1) (vì y(0) = -1).
+ Đồ thị hàm số đi qua (-3; -10) và (3; 10).
b) Hàm số y = x4 – 2x2 + 2.
1) Tập xác định: D = R
2) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)
y’ = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1.
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận :
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).
Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2)
3) Đồ thị:
+ Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.
+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 2).
+ Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1) và (1; 1).
+ Đồ thị hàm số:
c) Hàm số 
1) Tập xác định: D = R
2) Sự biến thiên:
+ y’ = 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1)
y’ = 0 ⇔ 2x(x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2).
3) Đồ thị:
+ Hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.
+ Hàm số cắt trục hoành tại điểm (-1; 0) và (1; 0).
+ Hàm số cắt trục tung tại điểm 
d) Hàm số y = -2x2 – x4 + 3.
1) Tập xác định: D = R
2) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y’ = -4x – 4x3 = -4x(1 + x2)
y’ = 0 ⇔ -4x(1 + x2) = 0 ⇔ x = 0
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3).
3) Đồ thị:
+ Hàm số là hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.
+ Hàm số cắt trục Ox tại (-1; 0) và (1; 0).
+ Hàm số cắt trục Oy tại (0; 3).
Bài 3 (trang 43 SGK Giải tích 12):
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức:
Lời giải:
a) Hàm số 
1) Tập xác định: D = R \ {1}
2) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
⇒ Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:
⇒ x = 1 là tiệm cận đứng.
Lại có:
⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.
+ Bảng biến thiên:
3) Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; -3)
+ Giao với Ox: (-3; 0)
+ Đồ thị nhận (1; 1) là tâm đối xứng.
b) Hàm số 
1) Tập xác định: D = R \ {2}
2) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:
⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Lại có:
⇒ y = -1 là tiệm cận ngang.
+ Bảng biến thiên:
3) Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; -1/4)
+ Giao với Ox: (1/2; 0)
+ Đồ thị hàm số nhận (2; -1) là tâm đối xứng.
c) Hàm số 
1) Tập xác định: D = R \ {-1/2}
2) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
⇒ Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1/2) và (-1/2; +∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:
⇒ 
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
⇒ 
là tiệm cận ngang.
+ Bảng biến thiên:
3) Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; 2)
+ Giao với Ox: (2; 0)
+ Đồ thị hàm số nhận 
là tâm đối xứng.
Bài 4 (trang 44 SGK Giải tích 12):
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) x3 – 3x2 + 5 = 0 ;
b) -2x3 + 3x2 – 2 = 0 ;
c) 2x2 – x4 = -1
Lời giải:
a) Xét y = f(x) = x3 – 3x2 + 5 (1)
– TXĐ: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
f'(x) = 3x2 – 6x = 3x(x – 2)
f'(x) = 0 ⇔ x = 0 ; x = 2
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
– Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
⇒ phương trình x3 – 3x2 + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm duy nhất.
b) Xét hàm số y = f(x) = -2x3 + 3x2 – 2.
– TXĐ: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y’ = -6x2 + 6x = -6x(x – 1)
y’ = 0 ⇔ x = 0 ; x = 1
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
– Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất
⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình -2x3 + 3x2 – 2 = 0 chỉ có một nghiệm.
c) Xét hàm số y = f(x) = 2x2 – x4
– TXĐ: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y’ = 4x – 4x3 = 4x(1 – x2)
y’ = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
– Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm
⇒ Phương trình f(x) = -2 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 5 (trang 44 SGK Giải tích 12):
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
y = -x3 + 3x + 1
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m:
x3 – 3x + m = 0
Lời giải:
a) Khảo sát hàm số y = -x3 + 3x + 1
– Tập xác định: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y’ = -3x2 + 3 = -3(x2 – 1)
y’ = 0 ⇔ -3(x2 – 1) = 0 ⇔ x = ±1.
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận: hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).
hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 ; yCT = -1.
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; yCĐ = 3.
– Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; 1).
+ Đồ thị (C) đi qua điểm (-2; 3), (2;-1).
b) Ta có: x3 – 3x + m = 0 (*)
⇔ -x3 + 3x + 1 = m + 1
Số nghiệm của phương trình (*) phụ thuộc số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x3 + 3x + 1 và đường thẳng y = m + 1.
Kết hợp với quan sát đồ thị hàm số ta có :
+ Nếu m + 1 < –1 ⇔ m < –2
⇒ (C ) cắt (d) tại 1 điểm.
⇒ phương trình (*) có 1 nghiệm.
+ Nếu m + 1 = –1 ⇔ m = –2
⇒ (C ) cắt (d) tại 2 điểm
⇒ phương trình (*) có 2 nghiệm.
+ Nếu –1 < m + 1 < 3 ⇔ –2 < m < 2
⇒ (C ) cắt (d) tại 3 điểm.
⇒ phương trình (*) có 3 nghiệm.
+ Nếu m + 1 = 3 ⇔ m = 2
⇒ (C ) cắt (d) tại 2 điểm.
⇒ phương trình (*) có hai nghiệm.
+ Nếu m + 1 > 3 ⇔ m > 2
⇒ (C ) cắt (d) tại 1 điểm
⇒ phương trình (*) có một nghiệm.
Kết luận : + Với m < -2 hoặc m > 2 thì phương trình có 1 nghiệm.
+ Với m = -2 hoặc m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm.
+ Với -2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.
Bài 6 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số 
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1, √2).
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
Lời giải:
a) Với mọi tham số m ta có :
Vậy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Ta có:
⇒ 
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+ Tiệm cận đứng đi qua A(-1 ; √2)
⇔ 
⇔ m = 2.
Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1, √2)
c) Với m = 2 ta được hàm số: 
– TXĐ: D = R \ {-1}
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: Theo kết quả câu a)
Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞)
+ Cực trị : Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:
⇒ đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.
Lại có
⇒ đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.
+ Bảng biến thiên:
– Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục hoành tại (1/2 ; 0).
+ Đồ thị cắt trục tung tại (0 ; -1/2).
+ Đồ thị nhận I(-1 ; 1) là tâm đối xứng.
Bài 7 (trang 44 SGK Giải tích 12):
Cho hàm số
a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1) ?
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm có tung độ bằng 7/4.
Lời giải:
a) Đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1)
b) Với m = 1, hàm số trở thành 
– TXĐ: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y’ = x3 + x = x(x2 + 1)
y’ = 0 ⇔ x(x2 + 1) ⇔ x = 0
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên (0; +∞)
Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0)
Hàm số có điểm cực tiểu là (0; 1).
– Đồ thị:
+ Đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng.
+ Đồ thị cắt trục tung tại (0; 1).
+ Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1,75); (1; 1,75); (-2; 7); (2; 7).
c) Điểm thuộc (C) có tung độ bằng 7/4 nên hoành độ của điểm đó là nghiệm của phương trình:
+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại 
:
y’(1) = 2
⇒ Phương trình tiếp tuyến: 
+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại 
:
y’(-1) = -2.
⇒ Phương trình tiếp tuyến: 
Bài 8 (trang 44 SGK Giải tích 12):
Cho hàm số:
y = x3 + (m + 3)x2 + 1 – m (m là tham số)
có đồ thị (Cm).
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.
b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2.
Lời giải:
a) Xét hàm số y = x3 + (m + 3)x2 + 1 – m.
+ TXĐ : D = R.
+ y’ = 3x2 + 2(m + 3).x
⇒ y’’ = 6x + 2(m + 3).
+ Hàm số có điểm cực đại là x = -1
Vậy với 
thì hàm số có điểm cực đại là x = -1.
b) Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2
⇔ y(-2) = 0
⇔ (-2)3 + (m + 3)(-2)2 + 1 – m = 0
⇔ -8 + 4(m + 3) + 1 – m = 0
⇔ 3m + 5 = 0
⇔ m = -5/3
Trên đây là nội dung liên quan đến Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Toán 12 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!
